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証明一覧

円の弦の性質
円の弦の垂直二等分線は円の対称の軸となり、円の中心を通る。

【証明】

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円の円周上に点ABをとる。弦ABの垂直二等分線\ellを引き、弦ABとの交点をPとすると、

△OAPと△OBPについて

\ellは垂直二等分線なので、

AP=BP
∠OPA=∠OPB=90°

また、共通な辺より

OP=OP

2つの三角形の2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、

△OAP≡△OBP

合同な三角形の対応する辺は等しいので、

OA=OB

A、Bは円周上の点なのでOA、OBは半径になる。
よって、点Oは円の中心になる。

円の接線
円の接線は接点を通る半径に垂直である。

【証明】

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円Oの直径ABをとる。点Bを通る接線と、点Aと円周上の点Cを結んで延長した線の交点をDとする。

△ABDと△BCDにおいて、

円の接線とその接点を通る弦の作る角は、その角の内部にある孤に対する円周角に等しいので、

∠BAD=∠CBD

共通な角なので

∠ADB=∠BDC

三角形の内角の和は180°なので

∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB
∠BCD=180°-∠CBD-∠BDC

よって、

∠ABD=∠BCD …(1)

直径の円周角は90°になるので、

∠ACB=90°…(2)

また、

∠BCD=180°-∠ACB

(2)より

  ∠BCD=180°-90°

よって、

∠BCD=90°…(3)

(1)(3)より

∠ABD=90°

よって、接線は半径に垂直である。