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【証明】

円の円周上に点ABをとる。弦ABの垂直二等分線を引き、弦ABとの交点をPとすると、

△OAPと△OBPについて

は垂直二等分線なので、

AP=BP
∠OPA=∠OPB＝90°

また、共通な辺より

OP=OP

２つの三角形の２辺とその間の角がそれぞれ等しいので、

△OAP≡△OBP

合同な三角形の対応する辺は等しいので、

OA=OB

A、Bは円周上の点なのでOA、OBは半径になる。
よって、点Oは円の中心になる。

【証明】

円Oの直径ABをとる。点Bを通る接線と、点Aと円周上の点Cを結んで延長した線の交点をDとする。

△ABDと△BCDにおいて、

円の接線とその接点を通る弦の作る角は、その角の内部にある孤に対する円周角に等しいので、

∠BAD=∠CBD

共通な角なので

∠ADB＝∠BDC

三角形の内角の和は180°なので

∠ABD＝180°－∠BAD－∠ADB
∠BCD＝180°－∠CBD－∠BDC

よって、

∠ABD＝∠BCD　…（1）

直径の円周角は90°になるので、

∠ACB＝90°…（2）

また、

∠BCD＝180°－∠ACB

（2）より

　　∠BCD＝180°－90°

よって、

∠BCD＝90°…（3）

（1）（3）より

∠ABD＝90°

よって、接線は半径に垂直である。