証明一覧
- 円の弦の性質
- 円の弦の垂直二等分線は円の対称の軸となり、円の中心を通る。
【証明】
円の円周上に点ABをとる。弦ABの垂直二等分線を引き、弦ABとの交点をPとすると、
△OAPと△OBPについて
は垂直二等分線なので、
AP=BP
∠OPA=∠OPB=90°
また、共通な辺より
OP=OP
2つの三角形の2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△OAP≡△OBP
合同な三角形の対応する辺は等しいので、
OA=OB
A、Bは円周上の点なのでOA、OBは半径になる。
よって、点Oは円の中心になる。
- 円の接線
- 円の接線は接点を通る半径に垂直である。
【証明】
円Oの直径ABをとる。点Bを通る接線と、点Aと円周上の点Cを結んで延長した線の交点をDとする。
△ABDと△BCDにおいて、
円の接線とその接点を通る弦の作る角は、その角の内部にある孤に対する円周角に等しいので、
∠BAD=∠CBD
共通な角なので
∠ADB=∠BDC
三角形の内角の和は180°なので
∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB
∠BCD=180°-∠CBD-∠BDC
よって、
∠ABD=∠BCD …(1)
直径の円周角は90°になるので、
∠ACB=90°…(2)
また、
∠BCD=180°-∠ACB
(2)より
∠BCD=180°-90°
よって、
∠BCD=90°…(3)
(1)(3)より
∠ABD=90°
よって、接線は半径に垂直である。