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球の体積、表面積

今回は、球について考えましょう。

球の体積

球の体積は、色々な求め方*1がありますが、最終的には公式として暗記したほうが手っ取り早いです。

球の半径をrとすると、体積Vは、

      \begin{align*}V=\Bunsuu{4}{3}\pi r^{3}\end{align*}

となります。

球の表面積

これも体積と同じように、色々な求め方*2がありますが、暗記したほうが早いです。

球の半径をrとすると、表面積Sは、

     \begin{align*}S=4\pi r^{2}\end{align*}

となります。


*1例えば、半径rの半球の入れ物と、底面が半径rの円で高さがrの円柱の入れ物を比べた時に半球の量は円柱の量の \Bunsuu{2}{3}になります。

なので、半球の体積V_1、円柱の体積をV_2とすると球の体積Vは、

     \begin{align*} V&=2\times V_1\\ &=2\times \left(\Bunsuu{2}{3}\times V_2 \right)\\ &=2\times \left(\Bunsuu{2}{3}\times\pi r^2\times r\right)\\ &=2\times \Bunsuu{2}{3}\pi r^3\\ &=\Bunsuu{4}{3}\pi r^3 \end{align*}

*2半径rの半球と、底面が半径rの円で高さがrの円柱の側面にそれぞれひもを巻き付けるとひもの長さは同じになります。

なので、半球の表面積S_1、円柱の側面積S_2とすると球の表面積Sは、

     \begin{align*} S&=2\times S_1\\ S&=2\times S_2\\ &=2\times \left(r\times 2\pi r\right)\\ &=2\times 2\pi r^2\\ &=4\pi r^2 \end{align*}

 

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