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立体の体積

立体の体積について考えてみましょう。

角柱、円柱の体積

角柱や円柱の体積はとても簡単です。小学校で習った直方体を例にとって考えてみましょう。

直方体

直方体の体積は、

直方体の体積=縦\times\times高さ

でした。これは見方を変えると、こう考えることもできます。

\times横は長方形の面積つまり直方体の底面の面積です。だとすると、

直方体の体積=直方体の底面積\times高さ

となります。これをほかの角柱や円柱に応用すると、こう考えることができます。

角柱、円柱の体積=底面積\times高さ

角錐、円錐の体積

角錐や円錐は先がとがっているので角柱、円柱のようにはいきません。

三角柱、三角錐

底面積と高さが同じ角柱と角錐では体積は明らかに角錐の方が小さくなるのは、図を見ればわかりますがではどれくらい小さいのでしょうか。

実は角錐の大きさは角柱の大きさの \Bunsuu{1}{3}の大きさになっています。これは円錐と円柱でも同じことが言えます。*1

ですので、角錐の体積は角柱の体積に \Bunsuu{1}{3}をかけた、

角錐、円錐の体積= \Bunsuu{1}{3}\times底面積\times高さ

になります。


*1 なぜ \Bunsuu{1}{3}になるのかというと、高校で習う積分の考え方を用います。

底面の面積がS高さがhの角錐または円錐を考えます。そこに頂点からtだけ下の場所の断面積をS(t)とします。
面積比は相似比の2乗倍なので、

     \begin{align*}S(t):S&=t^{2}:h^{2}\\ S(t)&=\Bunsuu{t^{2}S}{h^{2}}\end{align*}

今できるだけ小さい\Delta tをとってきて、t+\Delta tの体積を考えるとその体積は角柱の体積と同じであるとみなすことができるのでS(t)\times\Delta tとなります。

ここで積分の考え方を使って体積を考えると、

     \begin{align*}\int_0^h S(t)dt&=\int_0^h \Bunsuu{t^{2}S}{h^{2}}dt\\ &=\Bunsuu{S}{h^{2}}\int_0^h t^{2}dt\\ &=\Bunsuu{S}{h^{2}}\left[\Bunsuu{t^{3}}{3}\right]^{h}_{0}\\ &=\Bunsuu{S}{h^{2}}\times\Bunsuu{h^{3}}{3}\\ &=\Bunsuu{1}{3}Sh\end{align*}

となって \Bunsuu{1}{3}になることが分かります。

 

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