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立体の表面積

立体の周りの面積について考えてみましょう。

展開図

立体の表面を切り開いたものを展開図てんかいずといいます。
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立体の底面積、側面積

立体の展開図を書いたときに底面になっている部分と側面になっている部分があります。それぞれの面積には名前が付いていてそれを底面積ていめんせき側面積そくめんせきといいます。

角柱、円柱の表面積

角柱や円柱では底面は多角形や円の形、側面は長方形になります。それでは底面積と側面積を求めてみましょう。

角柱や円柱の底面積は多角形や円なので面積はその形の面積を求めれば出てきます。
例えば、三角柱ならば底面は三角形なので、

底面積=底辺\times高さ\div

円柱ならば底面は円なので、

底面積=半径\times半径\times円周率(π)

です。

次に側面積ですが、側面は長方形になっています。縦の長さは角柱や円柱の高さ、横の長さは、角柱や円柱の底面の周りの長さになります。

側面図
なので

側面積=高さ\times底面の周りの長さ

になります。

底面積と側面積を求めることができたので、表面積が計算できます。

角柱、円柱の表面積=底面積\times2+側面積

底面が2つあるので「底面積\times2」になっていることに注意してください。

角錐、円錐の表面積

角錐や円錐の場合を考えましょう。底面は角柱、円柱と同じ多角形や円になります。側面は角柱の場合は三角形、円柱の場合はおうぎ形になります。

角柱の側面については三角形の面積を求めれば、よいので

側面積=三角形の面積\times底面の辺の数

になります。

円錐の側面についてはおうぎ形の面積になります。

おうぎ形の面積= \Bunsuu{1}{2}\times半径\times弧の長さ

で求めることができます。

では、円錐の側面にあてはめると、半径は円錐の母線の長さ、弧の長さは底面の円周の長さになります。

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なので

側面積= \Bunsuu{1}{2}\times母線の長さ\times円周の長さ

になります。

それでは底面積と側面積がそろったので、表面積を計算すると

角錐、円錐の表面積=底面積+側面積

 

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